Задачи по математике

Постарайтесь сначала решить задачку самостоятельно, а потом сверитесь с тем решением, который тут предлагается. Это будет полезнее.

Задача 23.10.15

Доказать, что ни при каком целом n число

не делится на 3.

Решение:

Целое число при делении на 3 может дать в остатке 0, 1 или 2, других вариантов не существует. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности и докажем, что N на 3 делиться не может.

1) Пусть

 k – некоторое целое число, то есть n при делении на 3 даёт в остатке 0.

Тогда

Ясно, что поскольку

делится нацело на 3, то N делиться на 3 не может.

2) Пусть теперь

В этом случае

Первое и второе слагаемые этого выражения, очевидно, делятся на 3, но третье – не делится. Следовательно, N тоже не делится на 3.

3) Рассмотрим случай, когда n при делении на 3 даёт в остатке 2, то есть

Имеем

Рассуждая аналогично предыдущему случаю, получаем – N не делится нацело на 3.

Что и требовалось доказать.

Задача 12.09.15

Длина медианы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см. Длина основания – 80 см. Найти длину двух других медиан этого треугольника.

Решение:

Сделаем чертёж и введём обозначения. По условию задачи: BM = MC, AM = 160, BC = 80. Требуется найти KC и BP. Поскольку треугольник равнобедренный, KC = BP, поэтому достаточно найти длину одной из медиан.

В плоскости треугольника ABC выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс прошла по стороне ВС, а ось ординат – по медиане AM. Тогда, очевидно, M(0, 0), A(0, 160), B(-40, 0), C(40, 0).

Точка P – середина отрезка AC, её координаты можно найти по формулам (метод координат, координаты середины отрезка):

Длину медианы BP найдём как расстояние между точками B(-40, 0) и P(20, 80), используя формулу (метод координат, расстояние между двумя точками):

или

Окончательно получаем: KC = BP = 100 см.

Задача 17.08.15

Найти сумму всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1.

Решение:

Очевидно, что каждое число, о котором говорится в условии задачи, может быть представлено в виде

Поскольку оно двузначное, то k может принимать значения лишь из конечного множества последовательных натуральных чисел {3, 4, 5, ... 24}, а именно

Полученная последовательность является частью арифметической прогрессии с первым членом, равным 13 и разностью, равной 4. Используя формулу суммы n членов (в данном случае 22) арифметической прогрессии, имеем

Итак, сумма всех двузначных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1, равна 1210.

Задача 18.07.15

Предположим, что стрелки часов с круглым циферблатом движутся равномерно, без скачков. Через какое время после того, как часы показывали 4 часа, минутная стрелка догонит часовую стрелку?


Решение:

Часики показывают 4 часа, когда часовая стрелка находится на позиции “4” циферблата, а минутная – на позиции “12”. В этот момент минутная стрелка отстаёт от часовой на 120 градусов.

Очевидно, за 1 час минутная стрелка поворачивается на 360 градусов, а часовая стрелка за это же время поворачивается на 30 градусов (360/12).

По условию задачи, стрелки часов движутся равномерно, поэтому можно легко определить, на сколько градусов поворачиваются стрелки за 1 минуту. Минутная стрелка за 1 минуту поворачивается на 6 градусов (360/60, 1 час = 60 минут), часовая – на 0.5 градусов (30/60).

Обозначим за Х время, требуемое для того, чтобы минутная стрелка догнала часовую. Вновь используя равномерность перемещения стрелок, можем утверждать, что за Х минут минутная стрелка совершит поворот на 6Х градусов, в то время как часовая повернётся на 0.5Х градусов.

Минутная стрелка отстаёт от часовой на 120 градусов. Следовательно, 6Х – 0.5Х = 120. Получили уравнение для поиска искомого значения. Решим его.

12Х – Х = 240 => 11X = 240 => X = 240/11 или  

Почему не 20 минут? Надеюсь, вам это ясно? Часовая стрелка не ждала, пока минутная её догонит, она тоже двигалась с положенной ей скоростью, медленнее минутной, но двигалась ;)

Задача 28.06.15

Первые четыре часа автомобиль ехал со скоростью 65 км/ч, следующие два часа - со скоростью 90 км/ч, а затем два часа - со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Первое, что приходит на ум - сложить все три значения и поделить на три. Но это неправильно :)

Задача имеет явный физический смысл, из которого ясно, что "вес" складываемых компонент разный, просто складывать эти значение и делить на их количество, конечно же, нельзя.

Из школьного курса физики известно, что средняя скорость транспортного средства на протяжении всего пути определяется по формуле s/t, где  s - длина пройденного пути, t - время в пути.

Длина пройденного пути равна сумме трёх расстояний (автомобиль на трёх участках перемещался с разной скоростью): s = 65*4 +90*2 + 60*2 = 560 километров.

Общее время в пути:  t = 4 + 2 +2 = 8 часов.

Таким образом, средняя скорость равна  v = 560/8 = 70 км/ч

Ещё задачи